虚数，数学中的一个幽灵！笛卡尔发现虚数出现后，在“直角坐标系”上建立了“复平面”，用公式可表示为：z=a+bi。他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

欧拉在18世纪引用 i 这个符号——拉丁文“假想”的头一个字母，来取代表示-1的算术平方根，并一直沿用至今。

欧拉在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示(-1)的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

虚数的发展，是非常顺应人类自然思维的，是一个水到渠成的过程。

一开始，人们发明虚数，就是解决一个问题：

负数无法开方。

比如，

x² = 4，则，x = ±2

但是，如果：

x² = -4，则，x = ？①

这就会产生相当的困扰，因为，在实数范围内，找不出一个数的平方等于-4。

那怎么办呢？

于是，数学家创造了一个神奇的数，叫做i，并定义：

i² = -1

i就被称为虚数单位。

这样一来，-4可以这么表示：

-4 = (-1) × 4 = i² × 4

那么，上面的①方程可以写成：

x² = i² × 4，则，x = ？

显然，

x = ±( √i² × √4 )

因此，

x = 2i，或者 x = -2i

这样一来，负数就可以开方了，圆满的结局。

在人们没有发现复平面时，人们常常感觉“数不够用。而现在，数学家们现己经严格证明，“一切数”都能在复平面中找到，“数的范围”不会再超过复数的范围。

我们的秘密武器：通过类比。我们将会通过观察它的来源、负数来了解虚数。下面便是你的指南：

*sqrt(n) 指求 n 的平方根

神奇的“虚数i”，到底有什么用？

德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。

高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一 一对应。

高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

虚数在交流电路分析中，就非常有用，虚数可以表示幅度和旋转角，这正是正弦波的重要参数。

复变函数以“复数为变量”，用于分析函数的规律与变化，其内容丰富，实用性极强，被用于“流体力学”和“航空动力学”，解决了飞机机翼的结构问题。

著名的欧拉公式以“虚i和π的积”做为“自然底数e”的指数，将“复变函数”与“三角函数”联系在了一起，这使得“复变函数”也笼罩上了一层神秘的色彩。

数学家称赞“复变函数”是一种非常和谐的理论，研究它简直是一种享受。

复数还广泛的应用于物理学的各个分支，比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

如果没有虚数的话，现代物理学恐怕很难有所进展。物理学家在很多领域都使用虚数进行计算，包括交流电、相对论、讯号处理、流体动力学、量子力学等领域都需要虚数才能有效完成计算工作，甚至就连华丽的分形图形也都少不了虚数的使用，才能在不断被放大检视的图形中持续产生丰富的细节。

复数问题之所以重要，是因为微观物理学的大厦是建立在量子力学的薛定谔方程的基础上的；薛定谔方程的是关于波函数的方程，而波函数是复数！这就是量子力学的核心方程式，伟大的薛定谔写出来的伟大的薛定谔方程。

从弦理论到量子理论，越深入研究物理的学者，研究内容就越接近纯数学，甚至有人说数学“运转”真实世界 的道理，就像微软操作系统操作计算机一样。薛丁格波动方程式：用波动函数与概率描述基本的实在及事件——可以视为我们所寄托之逝基板，而逝基板则建立虚数之上。

说到这，如果你依然无法接受“一个数的平方”等于“-1”，那就默默感叹一下：科学真是奇(cào)妙(dàn)。 可以说无论如何，至少现在我们比较清楚人类发现复数的意义与价值了。对复数有一个初步的认知，为我们认识这个丰富多彩的大千世界，开设了一个别样的窗口。